t检验（方差未知）

当总体方差未知时，用样本方差 $s^2$ 代替，检验统计量服从t分布。
单样本t检验：
$$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \tag{2-10}$$
在原假设 $H_0$ 下，$T \sim t(n-1)$。
两独立样本t检验：
假设两个正态总体 $N(\mu_1, \sigma_1^2)$ 和 $N(\mu_2, \sigma_2^2)$，检验 $H_0: \mu_1 = \mu_2$。
情况一：方差齐性（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$）
使用合并方差（pooled variance）：
$$s_w^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$
$$T = \frac{\bar{X}1 - \bar{X}_2}{s_w\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t(n_1 + n_2 - 2) \tag{2-11}$$
情况二：方差不齐（Welch's t检验）
$$T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \tag{2-12}$$
自由度使用Satterthwaite近似：
$$v = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$$
Welch's t检验不假设方差齐性，在实际中更为稳健，应作为默认选择。
配对t检验：
当两组数据是配对设计（如同一患者治疗前后），计算差值 $d_i = X{i1} - X_{i2}$，然后对差值进行单样本t检验：
$$T = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}} \sim t(n-1) \tag{2-13}$$
配对设计控制了患者间的个体差异，通常比独立样本检验具有更高的检验效能。