数据特征

统计量与参数：
- 统计量（Statistic）：基于样本数据计算的数值，用来描述样本特征。如样本均值 $\bar{X}$、样本标准差 $s$。
- 参数（Parameter）：描述总体特征的数值，通常是未知的。如总体均值 $\mu$、总体标准差 $\sigma$。
常用统计量：
(1) 均值（Mean）
样本均值是所有观测值的总和除以观测值个数：
$$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \tag{2-1}$$
均值反映了数据的"重心"，是最常用的集中趋势度量。但对极端值（离群值）敏感。
(2) 中位数（Median）
将数据从小到大排列后处于中间位置的值：
$$\widetilde{X} = \begin{cases} X_{\frac{n+1}{2}} & \text{（n为奇数）} \ \frac{1}{2}\left(X_{\frac{n}{2}} + X_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{（n为偶数）} \end{cases} \tag{2-2}$$
中位数不受极端值影响，是稳健的集中趋势度量。当数据分布偏斜时，中位数比均值更能代表"典型"值。
(3) 众数（Mode）
数据中出现频率最高的值。一个数据集可以有多个众数，也可以没有众数。
(4) 极差（Range）
$R = X_{\max} - X_{\min}$
极差是最简单的离散程度度量，但只利用了两个极端值，对数据分布的中间部分不敏感。
(5) 方差（Variance）与标准差（Standard Deviation）
方差衡量数据偏离均值的平均程度。样本方差定义为：
$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 \tag{2-3}$$
注意分母是 $n-1$ 而不是 $n$，这是为了得到总体方差的无偏估计（称为贝塞尔校正）。标准差是方差的平方根：$s = \sqrt{s^2}$。
为什么分母是 $n-1$ 而不是 $n$？
这是一个初学者最常困惑的问题。证明如下：
设总体方差为 $\sigma^2 = E[(X - \mu)^2]$，考虑样本方差 $s^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2$。
$$\sum(X_i - \bar{X})^2 = \sum[(X_i - \mu) - (\bar{X} - \mu)]^2 = \sum(X_i - \mu)^2 - n(\bar{X} - \mu)^2$$
取期望：
$$E\left[\sum(X_i - \bar{X})^2\right] = \sum E[(X_i - \mu)^2] - nE[(\bar{X} - \mu)^2] = n\sigma^2 - n\cdot\frac{\sigma^2}{n} = (n-1)\sigma^2$$
因此 $E[s^2] = \sigma^2$，即 $s^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计。如果使用分母 $n$，则会系统性地低估总体方差。
(6) 四分位距（IQR）
将数据从小到大排列后四等分，三个分位点分别称为第一四分位数 $Q_1$（第25百分位数）、第二四分位数 $Q_2$（中位数，第50百分位数）、第三四分位数 $Q_3$（第75百分位数）。
$$IQR = Q_3 - Q_1$$
IQR包含了中间50%的数据，是稳健的离散程度度量。
(7) 变异系数（CV）
$$CV = \frac{s}{\bar{X}} \times 100\%$$
变异系数消除了量纲影响，用于比较不同单位或不同量级数据的离散程度。
(8) 偏度（Skewness）
衡量数据分布的不对称程度：
$$g_1 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^3}{\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2\right]^{3/2}} \tag{2-4}$$
- $g_1 > 0$：右偏（正偏），长尾在右侧，均值 > 中位数
- $g_1 < 0$：左偏（负偏），长尾在左侧，均值 < 中位数
- $g_1 = 0$：对称分布
(9) 峰度（Kurtosis）
衡量数据分布的尖峭程度（相对于正态分布）：
$$g_2 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^4}{\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2\right]^2} - 3 \tag{2-5}$$
- $g_2 > 0$：比正态分布更尖峭（重尾，离群值更多）
- $g_2 < 0$：比正态分布更扁平（轻尾，数据更集中）
- $g_2 = 0$：正态分布的峰度（注意：有些软件不减3，此时正态分布峰度为3）